数学之美：四种心形线（Cardioid）方程汇总

作为数学领域的“老司机”，这里为大家总结心脏线（Cardioid）在四个方向上的方程。

在数学上，标准的心脏线是由一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆周上一点的轨迹形成的。它的形状像一个圆润的桃子或肾脏，有一个尖点（Cusp）（即心形的凹陷处）。

为了方便说明，我们设常数 \(a > 0\)（控制大小）。

以下是四种开口方向（以尖点/凹陷朝向为准）的方程汇总：

1. 尖点朝上（开口向上，形状像桃子/常规爱心）

这是最接近大众认知的“爱心”形状（虽然底部是圆的）。

• 极坐标方程：
  $$r = a(1 - \sin\theta)$$
• 参数方程（\(\theta\) 为参数）：
  $$\begin{cases} x = a(1 - \sin\theta)\cos\theta \\ y = a(1 - \sin\theta)\sin\theta \end{cases}$$
• 直角坐标方程：
  $$x^2 + y^2 + ay = a\sqrt{x^2+y^2} \quad \text{或} \quad (x^2 + y^2 + ay)^2 = a^2(x^2 + y^2)$$

2. 尖点朝下（开口向下，形状倒置）

• 极坐标方程：
  $$r = a(1 + \sin\theta)$$
• 参数方程：
  $$\begin{cases} x = a(1 + \sin\theta)\cos\theta \\ y = a(1 + \sin\theta)\sin\theta \end{cases}$$
• 直角坐标方程：
  $$x^2 + y^2 - ay = a\sqrt{x^2+y^2} \quad \text{或} \quad (x^2 + y^2 - ay)^2 = a^2(x^2 + y^2)$$

3. 尖点朝左（开口向左，主体在右）

• 极坐标方程：
  $$r = a(1 + \cos\theta)$$
• 参数方程：
  $$\begin{cases} x = a(1 + \cos\theta)\cos\theta \\ y = a(1 + \cos\theta)\sin\theta \end{cases}$$
• 直角坐标方程：
  $$x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2+y^2} \quad \text{或} \quad (x^2 + y^2 - ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$$

4. 尖点朝右（开口向右，主体在左）

• 极坐标方程：
  $$r = a(1 - \cos\theta)$$
• 参数方程：
  $$\begin{cases} x = a(1 - \cos\theta)\cos\theta \\ y = a(1 - \cos\theta)\sin\theta \end{cases}$$
• 直角坐标方程：
  $$x^2 + y^2 + ax = a\sqrt{x^2+y^2} \quad \text{或} \quad (x^2 + y^2 + ax)^2 = a^2(x^2 + y^2)$$

🎁 彩蛋：更像“情人节爱心”的方程

标准心脏线底部是圆的，没有尖尖的尾巴。如果你想要画出那种底部尖尖的、顶部凹陷的完美爱心，可以使用这个著名的直角坐标隐函数方程：

它的形状更加修长、完美，常用于表白代码中。

💻 程序员的浪漫：用 Python 画一颗爱心

光有公式还不够，动手画出来才更有诚意。这里有一段 Python 代码，使用 matplotlib 库绘制上述那个完美的爱心方程。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置绘图区域
x = np.linspace(-1.5, 1.5, 1000)
y = np.linspace(-1.5, 1.5, 1000)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 心形方程: (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2*y^3 = 0
Z = (X**2 + Y**2 - 1)**3 - X**2 * Y**3

# 创建画布
plt.figure(figsize=(8, 8), facecolor='white')

# 绘制填色图，Z <= 0 的区域即为心形内部
plt.contourf(X, Y, Z, levels=[-np.inf, 0], colors=['#ff4d4d'])
# 绘制轮廓线
plt.contour(X, Y, Z, levels=[0], colors='red', linewidths=2)

# 添加浪漫文字
plt.text(0, -0.2, "I Love You", fontsize=24, color='white', 
         ha='center', va='center', fontweight='bold', style='italic')

# 隐藏坐标轴
plt.axis('off')
plt.title("Code My Love", fontsize=16, color='gray')

plt.show()

你可以把这段代码发给 TA，或者运行生成图片发过去。祝表白成功！

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