概率与统计¶
Abstract |
概率与统计 |
Authors |
Walter Fan |
Status |
WIP |
Updated |
2021-12-29 |
Overview¶
平均值
\[\mu =\frac{1}{N}\sum_{0}^{n-1}x_i\]
标准差和方差
\[\sigma ^ 2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=0}^{N-1}(x_i - \mu)^2\]
标准差衡量的是信号离平均值有多远,方差衡量的是这种偏离的功率。 对于连续统计,方差可由如下公式计算:
\[\sigma ^ 2 = \frac{1}{N-1} \left [ \sum_{i=0}^{N-1} x_i^2 - \frac{1}{N}\left ( \sum_{i=0}^{N-1} \right ) ^2 \right ]\]
信噪比 SNR \(=\frac{\mu}{\sigma}\)
直方图 Histgram,
假设 M 是每个采样点可能取值的数目,可用 \(H_i\) 来表示直方图, i 在 0 到 M - 1 之间,\(H_{50}\) 表示采样值是50的采样点的个数,采样点越多,图像就越平滑,直方图的统计噪声与所用采样点数的平方根成反比
直方图中所有值的总和等于信号的采样点总数:
\[N = \sum_{i=0}^{M-1}H_i\]
利用直方图来计算平均值和标准差的公式如下
\[\mu =\frac{1}{N}\sum_{0}^{M-1}i H_i\]
累积分布函数 CDF(Cumulative Distribution Function),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。
对于随机变量 X, 如下定义的函数 F(x) 称为累积分布函数,简称分布函数,它等于该随机变量小于等于 x 的概率
\[F(x) = P \{ X \le x \} , - \infty < x < + \infty\]
概率质量函数 PMF(probability mass function)
对于一个离散型随机变量 X , 定义它在各个特定取值上的概率为概率质量函数 PMF
\[f(x) = P(X = x)\]
概率密度函数 PDF(probability density function) 也称概率分布函数
对于一个连续型随机变量 X 的累积分布函数 F(x), 如果存在一个定义在实轴上的非负函数 f(x), 使得对于任意实数 x, 有下式成立,则称其为概率密度函数 PDF(probability density function)
\[F(x) = \int_{-\infty }^{x} f(t)dt\]