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数字信号处理
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**Abstract** DSP
**Authors**  Walter Fan
**Status**   WIP
**Updated**  |date|
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.. contents::
   :local:

信号是什么
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信号就是随一个参数变化的某种物理量，例如电压电流信号，语音信号，振动信号，等等

我们在实时通信中所说的信号代表一般都是指一个随时间变化的量。

以声音信号为例，声音是空气压力的变化产生的，声音信号则代表着空气压力随时间的变化。


信号的分类
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* 按其表示方式可分为模拟信号和数字信号

* 按其连续性可分为连续信号和离散信号

* 按其随机性可分为确定信号和随机信号

- 其中确定信号按其周期性还可分为周期性信号和非周期性信号
- 随机信号按是否平稳可分为平稳随机信号和非平稳随机信号




以语音信号为例

.. code-block:: python

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import scipy.io

    from os.path import dirname, join as pjoin
    from scipy.io import wavfile
    from scipy import signal


    wav_fname = "../../material/StarWars3.wav"
    sample_rate, samples = wavfile.read(wav_fname)

    length = samples.shape[0] / sample_rate

    print(f"length = {length}s, sample_rate={sample_rate}")
    if len(samples.shape) > 1:
        print(f"number of channels = {samples.shape[1]}")

    fig, axs = plt.subplots(2)
    fig.suptitle('Wave file analysiis')

    time = np.linspace(0., length, samples.shape[0])
    axs[0].plot(time, samples[:], label="1st channel")
    axs[0].legend()
    axs[0].set(xlabel='Time [s]', ylabel='Amplitude')


    frequencies, times, Zxx = signal.stft(samples, fs=sample_rate,  nperseg=1000)

    cmap = plt.get_cmap('viridis')
    axs[1].pcolormesh(times, frequencies, np.abs(Zxx), cmap=cmap)
    axs[1].set(xlabel='Time [sec]', ylabel='Frequency [Hz]')

    plt.show()


信号处理中用到的统计值
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* 平均值 mean

.. math::

    \bar{\mu}=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} x_{i}

* 方差 var

.. math::

    \sigma^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i = 0}^{N-1} {\left( {x_i - \bar \mu} \right)^2 }

* 标准差 std

.. math::

    \sigma = \sqrt {\frac{1}{N-1}\sum_{i = 0}^{N-1} {\left( {x_i - \bar \mu} \right)^2 } }

* 均方根 rms

.. math::

     RMS = \sqrt{\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}{x^2}}

.. code-block::

    import numpy as np

    my_array = np.array([ [1, 2], [3, 4] ])

    print(np.mean(my_array, axis = 0))        #Output : [ 2.  3.]
    print(np.mean(my_array, axis = 1))        #Output : [ 1.5  3.5]
    print(np.mean(my_array)                  #Output : 2.5

    print(np.var(my_array, axis = 0))         #Output : [ 1.  1.]
    print(np.var(my_array, axis = 1))         #Output : [ 0.25  0.25]
    print(np.var(my_array))                   #Output : 1.25

    print(np.std(my_array, axis = 0))         #Output : [ 1.  1.]
    print(np.std(my_array, axis = 1))         #Output : [ 0.5  0.5]
    print(np.std(my_array))                   #Output : 1.11803398875
    #root mean square:  sum square, mean and sqrt
    rms = np.sqrt(np.mean(my_array**2))

什么是数字信号处理
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数字信号处理是利用计算机或专用设备，以数值计算的方法对信号进行采集，变换，合成与识别等加工处理，
借以达到提取信息和应用信息的目的。

* 信号分析： 对时域，频域及其他变换域内的特性进行分析
* 信息处理： 对信号进行处理，以利于应用，例如压缩，滤波，等等


数字信号处理所牵涉到的理论
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* 通信理论
* 数值分析
* 概率统计
* 模拟信号处理
* 决策理论
* 数字电子学
* 模拟电子学

数字信号处理在实时通信中的应用
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* 语音数据压缩
* 视频数据压缩
* 回声消除
* 信号增强或减弱
* 降噪
* 滤波
* 语音合成
* 语音识别



数字信号处理的关键技术
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经典信号处理
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时频分析
频频分析

* `傅立叶变换`_ FT(Fourier Transform)

现代信号处理
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* 短时傅立叶变换 STFT(Short Time Fourier Transform)
* 窗函数：高斯窗，汉明窗
* 小波分析和变换 wavelet
* 希尔伯特-黄变换HHT（Hilbert-Huang Transform）
  
  经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称 EMD）和 Hilbert 变换（Hilbert transform，简称 HT）两个内容构成
  
随机信号处理
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* 自适应滤波器

  - 最小均方自适应滤波器（LMS，Least Mean Square）
  - 归一化最小均方自适应滤波器（NLMS，Normalized Least Mean Square)

滤波
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* 滤波
  
.. epigraph::

    本质上来讲，滤波就是一个信号处理与变换(去除或减弱不想要的成分，增强所需成分)的过程。

* 卡尔曼滤波
  
.. epigraph::

    卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。

.. _傅立叶变换: dsp_ft.html