数理基础

数学

• 极限

• 微分中值定理

• 向量代数与场论

• 傅立叶级数及展开

• 泛函分析及变分法

• 概率论

• 统计推断

• 子带编码与小波变换

• 正交变换与图像压缩

• 高斯分布

概率统计

• 期望: 数学期望实际上是随机变量取值的加权平均（其权是取该值的概率），所以数学期望也称为均值。

\[E\xi = \sum_k x_k p_k\]

• 方差: 方差是随机变量相对于它的平均值的距离平方的加权均值

\[D\xi = \sum_k(x_k - E\xi)^2 p_k\]

• 协方差

对于两个随机变量 \(\xi\) 和 \(\eta\), 它们的协方差为

\[cov(\xi, \eta) = E(\xi - E\xi)(\eta - E\eta) = E\xi\eta - E\xi E\eta\]

和相关系数

\[\rho(\xi, \eta) = \frac{cov(\xi, \eta)}{\sqrt{D\xi}\sqrt{D\eta}}\]

傅立叶转换

(1)\[(\mathcal{F}f)(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{\ n}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x.\]